1 . （1）证明：当时，；
（2）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；
（3）求证：.

2 . 已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4.
(1)求抛物线的方程.
(2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点.

3 . 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：有且仅有两个实数根，且这两个实数根互为相反数．

5 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

6 . 已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值.

7 . 已知椭圆的左右顶点为A、B，右焦点为F，C为短轴一端点，的面积为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点F的直线交椭圆于M，N两点（异于A，B），直线AM与BN的交点为Q.

①求证：Q点在定直线上；

②求证：射线FQ平分∠MFB.

8 . 如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.

9 . 求证下列问题：
(1)已知均为正数，求证:.
(2)已知，求证: 的充要条件是.

10 . 已知过点的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线：与抛物线相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.