1 . 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：
①对于任意正整数，；
②存在正整数，为整数﹔
③存在正整数，三角形的面积为2023；
④对于任意正整数，三角形为锐角三角形．
其中所有正确结论的序号是_________．
   

2 . “克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1.不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算.已知正整数，经过6次运算后得到1，则的值为（       ）

A．32

B．32或5

C．64

D．64或10

4 . 欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当时，，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，那么__.

5 . 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为

A．4

B．6

C．8

D．32

6 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N（n,k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数N（n，3）=n²+n，
正方形数N（n，4）=n²，
五边形数N（n，5）=n²-n，
六边形数N（n，6）=2n²-n，
…
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=________．

7 . 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中实心点的个数，，，，被称为梯形数，根据图形的构成，记此数列的第项为，则．

A．

B．

C．

D．

8 . 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：

（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；

（2）左图阴影区域面积用表示为__________；                  

（3）右图中阴影区域的面积为 ；

（4）则柯西不等式用字母可以表示为．

请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_______________．