1 . 设，，，将的最小值记为.则当是偶数时，__________；当是奇数时，__________．

2 . 已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：
①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.
其中正确的序号是

A．①③

B．①④

C．①③④

D．②③④

3 . 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则___ .

4 . 容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子.现有粒子颗，粒子颗，粒子颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩颗粒子. 给出下列结论：
① 最后一颗粒子可能是粒子                    
② 最后一颗粒子一定是粒子
③ 最后一颗粒子一定不是粒子             
④ 以上都不正确
其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）

5 . 如图，将一个正三角形的每一边都等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网.记为n等分后图中所有梯形的个数.

（1）求的值；
（2）求的表达式.

6 . 十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是

A．存在至少一组正整数组使方程有解

B．关于的方程有正有理数解

C．关于的方程没有正有理数解

D．当整数时，关于的方程没有正实数解

7 . 已知， ．
（1）求 的值；
（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

8 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

9 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．