1 . 已知椭圆，点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．
（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出该定值；
（2）试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．

2 . 已知函数.
（1）计算､､的值；
（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数 的一般结论，并证明这个结论；
（3）若实数满足，求证：.

3 . 已知，，如，，且，求证：；
用数学归纳法证明：当时，能被7整除．

4 . ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．

5 . 设z是虚数，在平面直角坐标系xOy中，z，，对应的向量分别为，，.
(1)证明：O，B，C三点共线；
(2)若，求向量的坐标.

6 . 已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

7 . 用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.

8 . 莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家.岁时入读巴塞尔大学，岁大学毕业，岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数单位；以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）试将复数写成（、，是虚数单位）的形式；
（2）试求复数的模.

9 . 在实数中：要证明实数，相等，可以利用且来证明.类比到集合中：要证明集合，相等，可以利用________来证明.

10 . 已知数列 满足：，，；数列 满足：．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列．