1 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.

2 . 在平面直角坐标系中，点E到点的距离与其到x轴的距离相等，记动点E的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ与分别交于M，N（异于P，Q）两点，若，求直线PQ的方程.

3 . 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，
①求证：；
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

4 . 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.

   

(1)求椭圆的方程：
(2)设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.

5 . 已知椭圆经过点，且焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．
①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
②求四边形面积的最大值．

6 . 如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．

(1)求点H的轨迹的方程；
(2)设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.

8 . 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
(1)求的方程；
(2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
(3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.
(1)证明：和均为定值；
(2)设线段的中点为，求的最大值.