1 . 在椭圆(双曲线)中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心,半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根,则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为,该椭圆的上顶点和下顶点分别为,且,设过点的直线与椭圆交于两点(不与两点重合)且直线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:的交点的纵坐标为定值;
(3)求直线围成的三角形面积的最小值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:的交点的纵坐标为定值;
(3)求直线围成的三角形面积的最小值.
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解题方法
2 . 如图,已知椭圆经过点,离心率.(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆上任意点轴上一点,若的最小值为,求实数的取值范围;
(3)设是经过右焦点的任一弦(不经过点),直线与直线相交于点,记的斜率分别为,求证:成等差数列.
(2)椭圆上任意点轴上一点,若的最小值为,求实数的取值范围;
(3)设是经过右焦点的任一弦(不经过点),直线与直线相交于点,记的斜率分别为,求证:成等差数列.
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2024-04-24更新
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401次组卷
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2卷引用:上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷
3 . 已知双曲线H:的左、右焦点为,,左、右顶点为,,椭圆E以,为焦点,以为长轴.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)设椭圆E交y轴于,,过的直线l交双曲线H的左、右两支于C,D两点,求面积的最小值;
(3)设点满足.过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P,Q.过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明:为定值,并求出此定值.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)设椭圆E交y轴于,,过的直线l交双曲线H的左、右两支于C,D两点,求面积的最小值;
(3)设点满足.过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P,Q.过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明:为定值,并求出此定值.
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4 . 已知A,M,N是棱长为1的正方体表面上不同的三点,则的取值范围是________ .
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2023-11-23更新
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623次组卷
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2卷引用:上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校2024届高三上学期期中数学试题
5 . 已知椭圆(常数),点,,为坐标原点.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)若是椭圆上任意一点,,求的取值范围;
(3)设,是椭圆上的两个动点,满足,试探究的面积是否为定值,说明理由.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)若是椭圆上任意一点,,求的取值范围;
(3)设,是椭圆上的两个动点,满足,试探究的面积是否为定值,说明理由.
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2023-11-21更新
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919次组卷
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4卷引用:上海市上海大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
6 . 已知双曲线:的左、右焦点为、,直线与双曲线交于,两点.
(1)已知过且垂直于,求;
(2)已知直线的斜率为,且直线不过点,设直线、的斜率分别为、,求的值;
(3)当直线过时,直线交轴于,直线交轴于.是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
(1)已知过且垂直于,求;
(2)已知直线的斜率为,且直线不过点,设直线、的斜率分别为、,求的值;
(3)当直线过时,直线交轴于,直线交轴于.是否存在直线,使得,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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7 . 已知椭圆过点,离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B,若△OAB的面积为2,其中O为坐标原点,求直线l的方程;
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线于点P,Q.求证:线段PQ的中点为定点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B,若△OAB的面积为2,其中O为坐标原点,求直线l的方程;
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线于点P,Q.求证:线段PQ的中点为定点.
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2023-10-26更新
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1158次组卷
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5卷引用:上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
8 . 已知椭圆的左右焦点分别为,,为上的动点.
(1)若,设点的横坐标为,试用解析式将表示成的函数;
(2)过点的直线与的另一个交点为,为关于轴的对称点,直线与轴交于点,求关于的表达式;
(3)试根据的不同取值,讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.
(1)若,设点的横坐标为,试用解析式将表示成的函数;
(2)过点的直线与的另一个交点为,为关于轴的对称点,直线与轴交于点,求关于的表达式;
(3)试根据的不同取值,讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.
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9 . 已知、分别为椭圆的左、右焦点,M为上的一点.
(1)若点M的坐标为,求的面积;
(2)若点M的坐标为,且直线与交于不同的两点A、B,求证:为定值,并求出该定值;
(3)如图,设点M的坐标为,过坐标原点O作圆(其中r为定值,且)的两条切线,分别交于点P,Q,直线OP,OQ的斜率分别记为,.如果为定值,求的取值范围,以及取得最大值时圆M的方程.
(1)若点M的坐标为,求的面积;
(2)若点M的坐标为,且直线与交于不同的两点A、B,求证:为定值,并求出该定值;
(3)如图,设点M的坐标为,过坐标原点O作圆(其中r为定值,且)的两条切线,分别交于点P,Q,直线OP,OQ的斜率分别记为,.如果为定值,求的取值范围,以及取得最大值时圆M的方程.
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2023-05-11更新
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1147次组卷
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4卷引用:上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题福建省泉州市永春第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题(已下线)重难点突破12 双切线问题的探究(六大题型)(原卷版)-1
10 . 已知的三个顶点都在椭圆上.
(1)设它的三条线段,,的中点分别为,,,且三条边所在线的斜率分别为,且均不为0.点为坐标原点,若直线,,的斜率之和1.求证:为定值;
(2)当是的重心时,求证:的面积是定值;
(3)如图,设的边所在直线与轴垂直,垂足为椭圆右焦点,过点分别作直线与椭圆交于(不同于A,B两点),连接与分别交于,求证:.
(1)设它的三条线段,,的中点分别为,,,且三条边所在线的斜率分别为,且均不为0.点为坐标原点,若直线,,的斜率之和1.求证:为定值;
(2)当是的重心时,求证:的面积是定值;
(3)如图,设的边所在直线与轴垂直,垂足为椭圆右焦点,过点分别作直线与椭圆交于(不同于A,B两点),连接与分别交于,求证:.
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