1 . 已知方程的曲线是一个菱形，以此菱形的四个顶点为顶点的椭圆方程是______．

2 . 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________．

3 . 点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为________.

4 . 设，．以点为焦点，直线为准线的抛物线交抛物线于两点．则直线的斜率为__________．

5 . 已知平面上的点满足，则__________.

6 . 已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________．

7 . 在空间直角坐标系O-xyz中，正方体的一个顶点在xOy平面上，还有一个顶点在平面上，那么在所有符合条件的正方体中，棱长的最小值为_____________
（注：平面指的是过点且平行于xOy平面的平面）

8 . 抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为___________.

9 . 已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．