1 . 已知椭圆的方程为，过点且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点．
(1)当为椭圆的上顶点时，求的大小；
(2)直线与椭圆交于，若，求的值.

3 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，点.
(1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积；
(2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围．

4 . 已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标；
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.

5 . 已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上.
(1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标；
(2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值;
(3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围.

6 . 已知椭圆的长轴长为，且过点．记椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以线段PQ为直径的圆过点，求直线l的方程；
(3)若，求实数的取值范围．

7 . 某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

8 . 已知动圆M（M为圆心）过定点，且与定直线相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)设过点P且斜率为的直线与（1）中的曲线交于A、B两点，求线段AB的长；
(3)设点是x轴上一定点，求M、N两点间距离的最小值．

9 . 已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
   
(1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．

10 . 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长．