1 . 已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，证明：

3 . 如图所示，为椭圆的左､右顶点，离心率为，且经过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点，点是椭圆上的点，直线交椭圆于点不重合），直线与交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值.

4 . 已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明：
（i）的面积等于的面积；
（ii）为定值．

5 . 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.

6 . 已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

7 . 已知椭圆：过点，离心率为，过点作斜率为的直线，它们与椭圆的另一交点分别为，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点．

8 . 已知椭圆：的右焦点为，点在上，为椭圆的半焦距．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过的直线与交于，（异于）两点，与直线交于点，设，，的斜率分别为，，，求证：．

9 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在上且．
（1）求的标准方程；
（2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线上．

10 . 椭圆的离心率，在上.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上.