1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

2 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

3 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：．

5 . 已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：

6 . 已知函数，．
(1)证明：在上单调递增；
(2)判断与的大小关系，并加以证明．

7 . 设函数，其中为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围；
(3)设的两个不同的极值点为，，证明：．

8 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．

9 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.