1 . 某企业生产一种零部件，其质量指标介于
的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布
；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布
.
附：若
，取
，
.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有
个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有
个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.
的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.附：若
，取，.(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.①若控制系统原有
个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？②假设该系统配置有
个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.
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2 . 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件
“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件
“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知
，证明： 
．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件
“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ．
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解题方法
3 . 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望
；
(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流
每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为
，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（
，
）．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望
；(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流
每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（
，）．
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名校
解题方法
4 . 设
为某正方体的一条体对角线，
为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（ ）
为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（ ）| A．12 | B．21 | C．27 | D．33 |
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名校
解题方法
5 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统
和系统
），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统
出现故障的概率分别记为
和
，一轮试验中系统的得分为
分.
(1)求的分布列；
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分，
表示“系统的累计得分为
时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则
，
，其中
.现根据
的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若
，则先启动系统；若
，则先启动系统；若
，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.
①证明：
；
②若
，由①可求得
，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分.(1)求
的分布列；(2)若系统
和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.①证明：
；②若
，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
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353次组卷
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3卷引用：福建省漳州市2024届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题
6 . 组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y．若将100万资金按
进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足
，其中
．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.
(1)若
，
，求Z的期望与方差；
(2)已知随机变量X满足分布列：
随机变量Y满足分布列：
且随机变量X与Y相互独立，即
，，
．求证：
；
(3)若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目
是低风险资产，满足．试问
能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．
进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足，其中．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.(1)若
，，求Z的期望与方差；(2)已知随机变量X满足分布列：
X |
|
|
| … |
| … |
|
|
|
|
| … |
| … |
|
Y |
|
|
| … |
| … |
|
|
|
|
| … |
| … |
|
，，．求证：；(3)若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目
是低风险资产，满足．试问能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．
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7 . 现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为
.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
.(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
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8 . 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：
，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知
三个地区分别有
的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是
，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）| A．0.25 | B．0.27 | C．0.48 | D．0.52 |
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解题方法
9 . 在n维空间中（
，
），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标
，其中
.则5维“立方体”的顶点个数是______ ；定义：在n维空间中两点与
的曼哈顿距离为
.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则
______ .
，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则
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10 . 一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为
，且每次投篮相互独立，
(1)
时，判断
与20的大小，并说明理由；
(2)
时，求的概率分布列和数学期望；
(3)记
的概率为
，求
的表达式.
，且每次投篮相互独立，(1)
时，判断与20的大小，并说明理由；(2)
时，求的概率分布列和数学期望；(3)记
的概率为，求的表达式.
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