1 . 在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．
(1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；
(2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．

2 . 用个不同的元素组成个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作，且当时，．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为________．

3 . 已知数列是等差数列，且2，求证：

4 . 求证：
(1)若 ，则.
(2)若 ，且 ，则.

5 . （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.

6 . 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生
女生	15
合计	50		100

(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求
①求X的分布列；
②求；
③试判断是否为定值，并加以证明．
附：，．

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

7 . 已知正四面体的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等．
(1)若每次抛掷时标注有的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率；
(2)若每次抛掷标注有或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数．
①求；
②要使得在次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值．

8 . 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.

   

(1)求的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间内的天数为，求的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有两个盒子，其中盒中放有9张金卡､1张银卡，盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.

9 . 南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和期望.

10 . 现有一只蜜蜂沿如图所示的用8个完全一样的正方体搭建的几何体的棱并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点飞行到B点，可能的飞行路径共有______种（用数字作答）．