名校
1 . 已知
展开式的二项式系数和为512,且
.
(1)求
;
(2)求
的值;
(3)求证:
能被6整除.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dbc4a53e7cc0b7135e23b53c7098b80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd6868ae028d5df6c5d237075b792470.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/261899da1427bf0c789533692c18adb0.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e88093a749c0d46e0ee931ecfaff925.png)
(3)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d75a0649765d3cbfdd93839ef726a1db.png)
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名校
解题方法
2 . 概率论中有很多经典的不等式,其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下:
设
为一个非负随机变量,其数学期望为
,则对任意
,均有
,
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当
为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:
设
的分布列为
其中
,则对任意
,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ef221a8ca1cd557d5765d19aa392c41.png)
,其中符号
表示对所有满足
的指标
所对应的
求和.
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量
的期望为
,方差为
,则对任意
,均有![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83e972fd6fe593a2d208c1adf9d8aea7.png)
(1)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量
成立.
(2)某药企研制出一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为
.现随机选择了100名患者,经过使用该药治疗后,治愈的人数为60人,请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.
设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/859cf5bf57a50d2da19c0bb926ce9c18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4e582062281e0b47622a95ecad49df9.png)
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界,阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/162d54222fa371e21964eb6dfd12b757.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de152afc6d02d02b51d1a0c3dcee4fac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/859cf5bf57a50d2da19c0bb926ce9c18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ef221a8ca1cd557d5765d19aa392c41.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e3317e47daaf0608d96cb238fe94470.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb20ecf02331882cd68af74122367e04.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a9e89a0e08d6511544daf535492b0159.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e819b87f90651d89fcd258c276294e43.png)
切比雪夫不等式的形式如下:
设随机变量
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90a0722562d03a0a55a6c63e5d4cc338.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/859cf5bf57a50d2da19c0bb926ce9c18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83e972fd6fe593a2d208c1adf9d8aea7.png)
(1)根据以上参考资料,证明切比雪夫不等式对离散型随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)某药企研制出一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为
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2023-05-27更新
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2933次组卷
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11卷引用:陕西省铜川市2024届高三一模数学(理)试题
陕西省铜川市2024届高三一模数学(理)试题吉林省东北师范大学附中2023届高三下学期七模数学试题吉林省长春市东北师范大学附属中学2023届高三第七次模拟考试数学试题(已下线)第四篇 概率与统计 专题4 分赌注问题 微点1 分赌注问题(已下线)高三开学收心考试模拟卷(已下线)第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征(六大题型)(讲义)(已下线)重难点突破01 概率与统计的综合应用(十八大题型)-2广东省佛山市2024届高三上学期教育教学质量检测模拟(一)数学试题(已下线)随机变量及其分布专题15离散型随机变量的分布列(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大题型)(练习)
名校
解题方法
3 . 一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第
站、第
站、第
站、
、第
站,共
站,设棋子跳到第
站的概率为
,一枚棋子开始在第
站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次.若掷出奇数点,棋子向前跳一站;若掷出偶数点,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第
站(获胜)或第
站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具,它的六个面分别标有点数
、
、
、
、
、
).
(1)求
、
、
,并根据棋子跳到第
站的情况,试用
和
表示
;
(2)求证:
为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95b6be4554f03bf496092f1acdfbb89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/daa5e9bd516f6282483b92cfe6074623.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7070546e4014f28fb2eaed777ec1dff.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95b6be4554f03bf496092f1acdfbb89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e9ba3f640f57c0cece089dfd19b4970.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8860d9787671b53b1ab68b3d526f5ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d91e07104b699c4012be2d26160976a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f8c4c029e552954bd493b49aeab82d5.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf9f50605db5d5f8f3a01ee8e474a112.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2708fa6298e52f617383efc175b71ddc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b9cb8e6ff801523b0304576cd69fd2d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/705689490075d3aa679ff6171551ab8c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9eb90a2118db1e9945d7b5997bf2482a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf83e20035c3afd6d26ebfd53d768a70.png)
(2)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61181fc1e5a92937cc4086ad3ff6d3d6.png)
(3)求玩该游戏获胜的概率.
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2023-05-23更新
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592次组卷
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9卷引用:陕西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题
陕西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测数学(理)试题2020届山西省大同市第一中学高三2月模拟(一)数学(理)试题(已下线)专题05 等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖2020届华大新高考联盟高三11月教学质量测评理科数学试题(已下线)类型四 概率与统计的创新问题-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破(新高考专用)(已下线)专题17 概率与统计的创新题型(已下线)第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点2 建立递推关系求通项公式综合训练(已下线)模块二 专题5 概率中的创新问题
名校
4 . 根据《国家学生体质健康标准》,高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm):
从某校高三男生和女生中各随机抽取
名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到
):
假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取
人,全体高三女生中随机抽取
人,设
为这
人中立定跳远单项等级为优秀的人数,估计
的数学期望
;
(3)从该校全体高三女生中随机抽取
人,设“这
人的立定跳远单项既有优秀,又有其它等级”为事件
,“这
人的立定跳远单项至多有
个是优秀”为事件
.判断
与
是否相互独立.(结论不要求证明)
立定跳远单项等级 | 高三男生 | 高三女生 |
优秀 | ![]() | ![]() |
良好 | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
及格 | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
不及格 | ![]() | ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8da45c443af7994a26ffa9d8894e7262.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37fd17f45e1149748e8b8c336f9b9ec7.png)
男生 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
女生 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(3)从该校全体高三女生中随机抽取
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
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2023-03-27更新
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1903次组卷
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8卷引用:陕西省宝鸡市千阳县中学2023届高三下学期第十三次模考理科数学试题
名校
解题方法
5 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且每次试验的成功概率为
.现对该产品进行独立重复试验,若试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验8次.记
为试验结束时所进行的试验次数,
的数学期望为
.
(1)证明:
;
(2)某公司意向投资该产品,若
,每次试验的成本为
元,若试验成功则获利
元,则该公司应如何决策投资?请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44fed1be8b7e50f18cb90077d9fce8e4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c025fce1a29b03212bb4efdfe77bd66.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e111a4eeb5f9c97cf287aa4bd95a7898.png)
(2)某公司意向投资该产品,若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/10dee6f7be2f629c349faa04836990c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6ec1e326713ddcd6dd66a24a809bdb8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17cd7223f1384160818fc1c74544c485.png)
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2022-10-14更新
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2831次组卷
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14卷引用:陕西省西安市第三中学2022-2023学年高二下学期第二次月测评理科数学试题
陕西省西安市第三中学2022-2023学年高二下学期第二次月测评理科数学试题广东省广州市越秀区2023届高三上学期10月阶段测试数学试题(已下线)第35节 概率(已下线)专题42 概率与统计的综合应用-1(已下线)第10讲 期望方差的实际应用-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)7.3.1 离散型随机变量的均值 (精讲)(1)(已下线)考点18 决策的选择问题 2024届高考数学考点总动员【练】河北省部分学校2024届高三上学期摸底考试数学试题(已下线)新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3(已下线)第4讲:概率与数列的结合问题【练】(已下线)第3讲:决策的选择问题【练】(已下线)(新高考新结构)2024年高考数学模拟卷(三)(已下线)专题08 平面向量、概率、统计、计数原理(已下线)7.3 离散型随机变量的数字特征(6大题型)精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)
名校
6 . 改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图为体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/6/ad8ddb37-0a2e-4ee3-93a5-66e6c91ac815.png?resizew=541)
(Ⅰ)从2007年至2016年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
亿元以上的概率;
(Ⅱ)从2007年至2016年随机选择3年,设
是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数,求
的分布列与数学期望;
(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/6/ad8ddb37-0a2e-4ee3-93a5-66e6c91ac815.png?resizew=541)
(Ⅰ)从2007年至2016年随机选择1年,求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/821b8672d030c240ff230a0174aa7a3d.png)
(Ⅱ)从2007年至2016年随机选择3年,设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)
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2019-04-09更新
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743次组卷
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4卷引用:陕西省西安市西北工业大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末理科B数学试题