名校
解题方法
1 . 已知
，在平面直角坐标系
中有一个点阵，点阵中所有点的集合为
，从集全
中任取两个不同的点，用随机变量
表示它们之间的距离．
(1)当
时，求的分布列及期望．
(2)对给定的正整数
．
（ⅰ）求随机变量的所有可能取值的个数（用含有
的式子表示）；
（ⅱ）求概率
（用含有的式子表示）．
，在平面直角坐标系中有一个点阵，点阵中所有点的集合为，从集全中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．(1)当
时，求的分布列及期望．(2)对给定的正整数
．（ⅰ）求随机变量
的所有可能取值的个数（用含有的式子表示）；（ⅱ）求概率
（用含有的式子表示）．
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名校
2 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第
位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第
位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量
表示A团队第
位成员上场并结束闯关活动，证明
单调递增，并求使
的n的最大值．
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．(1)用随机变量X表示A团队第
位成员的闯关数，求X的分布列；(2)已知A团队第
位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；(3)记随机变量
表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
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2024-04-10更新
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621次组卷
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2卷引用：黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期得分训练数学试题（四）
名校
解题方法
3 . 甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为
，乙击中8环､9环､10环的概率分别为
，且甲､乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求
的分布列与数学期望.
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2024-02-04更新
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2554次组卷
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9卷引用：黑龙江省大庆市大庆中学2024届高三下学期开学考试数学试题
黑龙江省大庆市大庆中学2024届高三下学期开学考试数学试题黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期得分训练数学试卷（一）安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题安徽“耀正优+”2024届高三名校上学期期末测试数学试题（已下线）热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）（已下线）信息必刷卷01（江苏专用，2024新题型）（已下线）第06讲 7.4.1二项分布-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）江西省丰城市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）7.4.1 二项分布——课后作业（基础版）
4 . 
年元旦将至，国产影片与国外好莱坞大片同时上映，广大网民，对喜爱的电影进行投票
某平台为了解观众对影片的选择情况
情况仅有“国产”“国外”
，从平台所有观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示单位：人
(1)把
列联表补充完整，试根据小概率值
的独立性检验分析对影片的选择情况是否与性别有关；
(2)若将频率视为概率，从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取
人，用随机变量表示被抽到的女性观众的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：
，其中
．
参考数据
年元旦将至，国产影片与国外好莱坞大片同时上映，广大网民，对喜爱的电影进行投票某平台为了解观众对影片的选择情况情况仅有“国产”“国外”，从平台所有观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示单位：人(1)把
列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验分析对影片的选择情况是否与性别有关；(2)若将频率视为概率，从抽取的200人中所有给出“国产”的观众中随机抽取
人，用随机变量表示被抽到的女性观众的人数，求的分布列和数学期望．国产 | 国外 | 合计 | |
男性 | 40 |
| |
女性 | 80 | ||
合计 | 200 |
，其中．参考数据
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名校
解题方法
5 . 某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有体育锻炼习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．
(1)请完成下列列联表．根据小概率值
的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列．
附：，其中．
(1)请完成下列
列联表．根据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．| 经常锻炼 | 不经常锻炼 | 合计 | |
| 合格 | 25 | ||
| 优秀 | 10 | ||
| 合计 | 100 |
附：
，其中．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2023-09-15更新
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909次组卷
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4卷引用：黑龙江省大庆市东风中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省大庆市东风中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题河南省郑州外国语学校2023-2024学年高三上学期第三次调研考试数学试题（已下线）考点巩固卷26分布列及三大分布(十一大考点)-1
名校
解题方法
6 . ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数
(万人)，详见下表:
(1)根据表中数据信息及模型(1)
与模型(2)
，判断哪一个模型更适合描述变量
和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程;
(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表:
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考公式与数据:
，
;
(万人)，详见下表:| X（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Y（万人） | 3.6 | 6.4 | 11.7 | 18.64 | 27.5 |
与模型(2)，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程;(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度(分为“基本适应”和“不适应”)是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表:
基本适应 | 不适应 | 合计 | |
年龄小于30岁 | 100 | 50 | 150 |
年龄不小于30岁 | 75 | 75 | 150 |
合计 | 175 | 125 | 300 |
的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考公式与数据:
，;
|
|
|
|
|
|
15 | 55 | 979 | 67.84 | 263.56 | 1120.24 |
| 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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2023-09-04更新
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379次组卷
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3卷引用：黑龙江省大庆市肇州县第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省大庆市肇州县第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟2024届高三上学期九月联考数学试题（已下线）第九章 统计与成对数据的统计分析（测试）
名校
解题方法
7 . 为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中，甲每局获胜的概率均为p，且前4局甲和对方各胜2局的概率为
.
(1)求p的值；
(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.
.(1)求p的值；
(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.
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2023-08-21更新
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904次组卷
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4卷引用：黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题
黑龙江省大庆市2024届高三第一次教学质量检测数学试题云南省昆明市第十中学2024届高三上学期开学考试数学试题江西省抚州市黎川县第二中学2024届高三上学期开学考试数学试题（已下线）第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（练习）
名校
8 . 2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：
(1)请根据以上数据，由
的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：
，其中．
| 集齐“五福”卡 | 末集齐“五福”卡 | 合计 | |
| 男性 | 80 | 20 | 100 |
| 女性 | 65 | 35 | 100 |
| 合计 | 145 | 55 | 200 |
的独立性检验，判断集齐“五福”是否与性别有关；(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：
，其中． | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2023-08-18更新
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386次组卷
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6卷引用：黑龙江省大庆市大庆中学2023届高三上学期开学考试数学试题
黑龙江省大庆市大庆中学2023届高三上学期开学考试数学试题云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三上学期期初开学数学试题河南省南阳市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题江西省萍乡市安源中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）8.3.2 独立性检验（分层作业）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）模块三 专题2 大题分类练（独立性检验）（北师大高二）
名校
解题方法
9 . ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
(1)根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：
，
；，.
x（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y（万人） | 3.6 | 6.4 | 11.7 | 18.8 | 27.5 |
与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 | 不适应 | |
年龄小于30岁 | 100 | 50 |
年龄不小于30岁 | 75 | 75 |
的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：
，；，.
|
|
|
|
|
| ||
15 | 55 | 979 | 68 | 264 | 1122 | ||
| 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 | |
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2023-07-08更新
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424次组卷
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3卷引用：黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期得分训练数学试卷（二）
黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期得分训练数学试卷（二）广东省佛山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）第八章 成对数据的统计分析 （单元测试）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
10 . 某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
(1)统计学中常用
表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布
，且
．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
| 疼痛指数X |  |  |  |
| 人数 | 10 | 81 | 9 |
| 名称 | 无症状感染者 | 轻症感染者 | 重症感染者 |
表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布
，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
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2023-06-15更新
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1458次组卷
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18卷引用：黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期实验一部5月考前得分训练（四）数学试题
黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期实验一部5月考前得分训练（四）数学试题四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中2022-2023学年高三下学期3月阶段性诊断检测数学试题（已下线）专题10离散型随机变量的期望与方差重庆市第八中学2023届高三下学期全真模拟数学试题重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题江苏省扬州市高邮中学2023届高考前热身训练(二)数学试题江西省南昌市第十九中学2023届高三下学期第三次模拟考试理科数学试卷江苏省淮安市马坝高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题辽宁省沈阳市第二十中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题湖北省武汉市第六中学2022-2023学年高二下学期第四次月考数学试题江苏省常州市高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题江西省抚州市资溪县第一中学2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题山东省枣庄市市中区第三中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题江苏省扬州市邗江区第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题河北省邯郸市鸡泽县第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
