1 . 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若，设随机变量的方差为，求证：．

3 . 设数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)解关于的不等式：；
(3)若，求证：数列前项和小于．

4 . 现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球，运用分层抽样方法从中抽取9个球后，放入一个不透明的布袋中.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数；
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球，每次取1个，
记事件第一次取到是红球，事件第一次取到了标记数字1的球，
事件第一次取到了标记数字2的球，事件第二次取到了标记数字1的球，
①求证：；
②判断：与是否相互独立？请说明理由.

5 . 在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4”
   
(1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；
(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率．

7 . 某情报站有A、B、C、D、E．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周没有使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A密码，表示第k周使用A密码的概率．
(1)求；
(2)计算；
(3)求证：为等比数列，并求的表达式．

9 . 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

10 . （1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．