名校
解题方法
1 . 设离散型随机变量X,Y的取值分别为
,
.定义X关于事件“
”
的条件数学期望为
,已知条件数学期望满足全期望公式
.解决如下问题:为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响,某实验室计划进行生物实验.在第1天上午,实验人员向培养皿中加入10个A的个体.从第1天开始,实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物时,A的每个个体立即产生1次如下的生理反应(设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化,不同个体的生理反应相互独立):①直接死亡;②分裂为2个个体,且这两种生理反应是等可能的.
设第n天上午培养皿中A的个体数量为
.规定
,
.
(1)求
,
;
(2)证明
;
(3)已知
,求
,并结合(2)说明其实际含义.
附:对于随机变量X,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c4c5ef7cc433f6d83d5dace3007d81e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12044571bb321a077e62fe3d24921d2f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dfe778b3e0bbd2220de99c382ec323b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d94932ae5d8a1772b36b5268a234a046.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8baaca444be2d6b341f0310d17ba5558.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7af49ca40f22b61efbda45d7632da572.png)
设第n天上午培养皿中A的个体数量为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93d0f3799612b81e85b87241ec8eee68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f93ddfb6148d7377a0d659b2429706a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/843b0b9191cabb7c63a406e37650a96a.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f7af337627e78cece1daf3a8cf11a2a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a6c7173930e7a13eb63e18f901f7772.png)
(2)证明
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09d6030f60e25c6344f62d900167a604.png)
(3)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8218c7894f6caad3396a4eab9e6094a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/58664d4fcfe5b765ccc1f86d7c29ce1c.png)
附:对于随机变量X,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c83507976fbfb5685fd79058bc438f0a.png)
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142次组卷
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2卷引用:湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题
名校
解题方法
2 . 在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标
表示,其中
,而在
维空间中
,以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为
维坐标
,其中
.现有如下定义:在
维空间中两点间的曼哈顿距离为两点
与
坐标差的绝对值之和,即为
.回答下列问题:
(1)求出
维“立方体”的顶点数;
(2)在
维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量
为所取两点间的曼哈顿距离.
①求
的分布列与期望;
②求
的方差.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4c2a29087dbd2e7635da13f7d288c1c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/729d3c18b8672a50f14456646c713cf4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14ef42f964d02549eec898b0d3f0588e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad55092a9fd70249bfe023ce3333725d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e974298581840985375f75687c05769.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad55092a9fd70249bfe023ce3333725d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8aedd153cda3677b3bf62e51ae168d33.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6d4d7e115c16a71c392e8aefa7746d7.png)
(1)求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(2)在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
①求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
②求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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2024-06-11更新
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539次组卷
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3卷引用:湖北省武昌实验中学2024届高三下学期5月高考适应性考试数学试卷
名校
解题方法
3 . 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球,现从盒子里随机抽取小球,每次抽取一个,用随机变量
表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数,下列说法正确的有( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
A.若盒子里有2个红色小球,4个黑色小球,从盒子里不放回地抽取小球,则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为![]() |
B.若盒子里有2个红色小球,4个黑色小球,从盒子里有放回地抽取6次小球,则![]() ![]() |
C.若盒子里有![]() ![]() |
D.若![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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名校
解题方法
4 . 已知随机变量
,且期望
,则方差![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fc23dc1709498e8920d7d243213190b2.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd0c3e26d5eab676768f3f08542f0701.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a834ba133848ef3bc0f9b1b2466caa64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fc23dc1709498e8920d7d243213190b2.png)
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2024-06-04更新
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516次组卷
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2卷引用:湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题A卷
5 . 某农户购入一批种子,已知每粒种子发芽的概率均为0.9,总共种下n粒种子,其中发芽种子的数量为X.
(1)要使
的值最大,求n的值;
(2)已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为
,方差为
,则对任意
均有
,切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下,对事件
的概率作出估计.
①当随机变量X为离散型随机变量,证明切比雪夫不等式(可以直接证明,也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式);
②为了至少有
的把握使种子的发芽率落在区间
,请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数
的最小值.
注:马尔科夫不等式为:设X为一个非负随机变量,其数学期望为
,则对任意
,均有
.
(1)要使
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/469434fe33981d4b31c477e7c45dc996.png)
(2)已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90a0722562d03a0a55a6c63e5d4cc338.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be362dec96173f246ff747264007817.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4be9455e331bf6375cc33a4e15680047.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/336ecff6f8d03ecd73f29719adbd3070.png)
①当随机变量X为离散型随机变量,证明切比雪夫不等式(可以直接证明,也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式);
②为了至少有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fbb00d558e456638de8ff1788db5a8d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a32a90cf0ed519de1e7ea36906834f04.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
注:马尔科夫不等式为:设X为一个非负随机变量,其数学期望为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fc79c66ebaacd709ec9965b90a22b14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be362dec96173f246ff747264007817.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/59859c19c22277facc8ecb5905823c0c.png)
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6 . 组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产,为了扩大收益需要组合高收益资产,现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X,单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按
进行组合投资,则投资收益的随机变量Z满足
,其中
.假设在组合投资中,可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.
(1)若
,
,求Z的期望与方差;
(2)已知随机变量X满足分布列:
随机变量Y满足分布列:
且随机变量X与Y相互独立,即
,
,
.求证:
;
(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产的一倍.投资项目
是低风险资产,满足
.试问
能否满足投资第1年的收益不低于17万,风险不高于500?请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38dbb8ff74f37f9f30ccc116b25c4c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa7023775b43da9414a7e0418f1d72bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd3ede869e508a8c8bda34a16782f863.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abdb06b53dc96b293381556f72249756.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/558e11d700481dc414d5d073b4b88a3d.png)
(2)已知随机变量X满足分布列:
X | … | … | |||||
… | … |
Y | … | … | |||||
… | … |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26c6ea36362a2a2be3a305def74b5503.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa7023775b43da9414a7e0418f1d72bc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b6a75ef99a70ae69f5842779327b59e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7823e1318ceb97a9d1ad9ccac512697f.png)
(3)若投资项目X是高收益资产,其每年的收益满足:有30%的可能亏损当前资产的一半;有70%的可能增值当前资产的一倍.投资项目
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a829fdd8ec0f3b7ede883cf2c3e53b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/abdb06b53dc96b293381556f72249756.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1d7b2c91adfc46f34cd682eb9adbbd8.png)
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名校
7 . 下列命题正确的是( )
A.数据4,5,6,7,8,8的第50百分位数为6 |
B.已知随机变量![]() ![]() ![]() |
C.对于随机事件A,B,若![]() ![]() ![]() |
D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为120 |
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2024-05-14更新
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785次组卷
|
2卷引用:湖北省部分学校2024届高三下学期模拟考试数学试题
名校
8 . 随机变量
的分布列如下:
若
,则
( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![]() | ![]() | 1 | 2 |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8155e53eaac51380f2da1eb259ec980a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ab40fadc58e24cf88c93e52b289e9cc.png)
A.0 | B.2 | C.3 | D.4 |
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2024-05-04更新
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798次组卷
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2卷引用:湖北省部分重点中学2023-2024学年高二下学期五月联考数学试卷
名校
9 . 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名,该游戏中有A,B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏,需从三首歌曲中各随机选一首,自主选择猜歌顺序,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表:
(1)求甲按“
”的顺序猜歌名,至少猜对两首歌名的概率;
(2)甲决定按“
”或者“
”两种顺序猜歌名,请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望;为了得到更多的奖励基金,请你给出合理的选择建议,并说明理由.
歌曲 | ![]() | ![]() | ![]() |
猜对的概率 | 0.8 | 0.5 | 0.5 |
获得的奖励基金金额/元 | 1000 | 2000 | 3000 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
(2)甲决定按“
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1fe5922610c94bc363bdd742714b2522.png)
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2024-03-19更新
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2243次组卷
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6卷引用:湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟考试(一)数学试卷
湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟考试(一)数学试卷湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三下学期全真模拟集训(一)数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题(已下线)第七章:随机变量及其分布章末重点题型复习(7题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)情境13 决策探索命题
名校
10 . 设
,随机变量
取值
的概率均为0.2,随机变量
取值
的概率也均为0.2,若记
分别为
的方差,则( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/184e8a5d126196b7f7fecdaf61922e23.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d388f32e318b0c7f2d9d10a5c6525b15.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/195f9cb9c1ca84756dd98afdc784ead9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/90f1ce5bbcc57f96d99d2c4f27cc2e42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23e6c48379d988fcea3008d5e5d7d881.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b116c34adbadc889535c95213db42344.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/982775905047b8bc572d562fffcace4f.png)
A.![]() |
B.![]() |
C.![]() |
D.![]() ![]() ![]() |
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2024-03-03更新
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1339次组卷
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5卷引用:湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二下学期6月考数学试题
湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二下学期6月考数学试题广东省广州市天河区2024届高三毕业班综合测试(二)数学试卷山东省菏泽市第一中学八一路校区2024届高三下学期2月月考数学试题(已下线)高二下学期期中复习选择题压轴题十五大题型专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)压轴题03不等式压轴题13题型汇总 -1