1 . 用适当方法证明：已知：，，求证：．

2 . （1）已知a，b，x，y均为正数，求证：并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数的最大值，并指出取最大值时x的值．

3 . 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”

4 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由

5 . 设，，均为正数，且.证明：
(1)；
(2).

6 . 解答下列各题.
(1)已知，试比较与的大小；
(2)设均为正数，且，证明：.

7 . 设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).

8 . 已知函数，.
(1)求不等式的解集；
(2)若，，证明：.

9 . 已知．
(1)若均为正数，证明：．
(2)若均为实数，求的最小值．

10 . 设函数.
(1)求不等式的解集；
(2)记函数的最小值为，正实数，满足，证明：.