1 . 已知函数
，其中，a为实数．
（1）当函数
的图像在
上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；
（2）当
时，求函数
在
上的最大值与最小值．
，其中，a为实数．（1）当函数
的图像在上与x轴有唯一的公共点时，求实数a的取值范围；（2）当
时，求函数在上的最大值与最小值．
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2 . 求所有的实数组（a、b、c），使得对任何整数n，都有
.其中，
表示不超过实数x的最大整数.
.其中，表示不超过实数x的最大整数.
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3 . 设
，
，
，其中，
、
、
为给定的实数．
（1）求
的表达式．
（2）问：当为何值时，极限
存在？如果存在，请求出其值．
，，，其中，、、为给定的实数．（1）求
的表达式．（2）问：当
为何值时，极限存在？如果存在，请求出其值．
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4 . 已知抛物线
上的动点P，及焦点
．求
的内切圆半径r的最大值．
上的动点P，及焦点．求的内切圆半径r的最大值．
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5 . 设函数
的图像T上有两个极值点P、Q，其中，P为坐标原点.
（1）当点Q(1，2)时，求f(x)解析式；
（2）当点Q在圆
上时，求曲线T的切线斜率的最大值.
的图像T上有两个极值点P、Q，其中，P为坐标原点.（1）当点Q(1，2)时，求f(x)解析式；
（2）当点Q在圆
上时，求曲线T的切线斜率的最大值.
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2010高二·河南·竞赛
6 . 已知函数
的图像与直线
有且仅有三个公共点，公共点的横坐标的最大值为
．证明：
．
的图像与直线有且仅有三个公共点，公共点的横坐标的最大值为．证明：．
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7 . 如图，
为
的中线
的中点，过的直线分别与边
、
交于点
、
.设
，
，记.
（1）求函数的表达式；
（2）设
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
为的中线的中点，过的直线分别与边、交于点、.设，，记.（1）求函数
的表达式；（2）设
，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
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8 . 甲乙两人进行某种游戏比赛，规定：每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束.同时规定：比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为可
，乙获胜的概率为
.假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经
次结束.求的期望
的变化范围.
，乙获胜的概率为.假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束.求的期望的变化范围.
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9 . 已知
（
为自然对数的底数)．证明：
（1）
恒成立；
（2）
对一切正整数
均成立.
（ 为自然对数的底数)．证明：（1）
恒成立；（2）
对一切正整数 均成立.
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