1 . 设，．求．

2 . 如果一个多项式的系数都是自然数，则称为“自然多项式”.对正整数，用表示满足的不同自然多项式的个数.证明：.

3 . 设非负实数对任意，有． 试求正实数、的值．

4 . 求最小的实数，使得对每个满足条件的二次三项式，适合不等式．

5 . 已知函数.
（1）求的极大值；
（2）求的最大值.

6 . 设求正实数，使得满足不等式的实数的集合是互不相交的区间的并集，且这些区间的长度总和为2009．

7 . 已知，其中，常数．求所有的实数，使对任意、，恒有．

8 . 已知各项均不小于1的数列满足：，，，试求：（1）数列的通项公式；
（2）的值.

9 . 将n×n的棋盘的部分结点(单位正方形的顶点)染红，使得任意一个由单位正方形构成的k×k的子棋盘的边界上至少有一个红点．记满足条件的红点数的最小值为. 试求的值.

10 . 设是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系中,曲线的方程为且,点.
(1)设是上的任意一点,试求线段的中点的轨迹的方程并指出曲线的类型和位置;
(2)求出、在它们的交点处的各自切线之间的夹角(锐角)(用反三角函数式表示)