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1 . 如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“型点”.
(1)若,时,判断的左焦点是否为“型点”,并说明理由;
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;
(3)若圆内的任意一点都不是“型点”,试写出a、b满足的关系式,并说明理由.
(1)若,时,判断的左焦点是否为“型点”,并说明理由;
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;
(3)若圆内的任意一点都不是“型点”,试写出a、b满足的关系式,并说明理由.
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解题方法
2 . 正整数数列满足(p,q为常数),其中为数列的前n项和.
(1)若,,求证:是等差数列;
(2)若数列为等差数列,求p的值;
(3)证明:的充要条件是.
(1)若,,求证:是等差数列;
(2)若数列为等差数列,求p的值;
(3)证明:的充要条件是.
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3 . 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下列条件:①f(x)不恒为0;②对任意的正实数x和任意的实数y都有f(xy)=y•f(x).
(1)求证:方程f(x)=0有且仅有一个实数根;
(2)设a为大于1的常数,且f(a)>0,试判断f(x)的单调性,并予以证明;
(3)若a>b>c>1,且,求证:f(a)•f(c)<[f(b)]2.
(1)求证:方程f(x)=0有且仅有一个实数根;
(2)设a为大于1的常数,且f(a)>0,试判断f(x)的单调性,并予以证明;
(3)若a>b>c>1,且,求证:f(a)•f(c)<[f(b)]2.
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4 . 平面直角坐标系中,已知是直线上的个点(,均为非零常数).
(1)若数列成等差数列,求证:数列也成等差数列;
(2)若点是直线上的一点,且,求的值;
(3)若点满足,我们称是向量的线性组合,是该线性组合的系数数列.证明:是向量的线性组合,则系数数列的和是点在直线上的充要条件.
(1)若数列成等差数列,求证:数列也成等差数列;
(2)若点是直线上的一点,且,求的值;
(3)若点满足,我们称是向量的线性组合,是该线性组合的系数数列.证明:是向量的线性组合,则系数数列的和是点在直线上的充要条件.
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5 . 已知是定义域为上的函数,若对任意的实数,都有:成立,当且仅当时取等号,则称函数是上的凸函数,凸函数具有以下性质:对任意的实数,都有:成立,当且仅当时取等号,设
(1)求证:是上的凸函数
(2)设,,利用凸函数的定义求的最大值
(3)设是三个内角,利用凸函数性质证明
(1)求证:是上的凸函数
(2)设,,利用凸函数的定义求的最大值
(3)设是三个内角,利用凸函数性质证明
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6 . 在数列中,,其中.
(1)若依次成公差不为0的等差数列,求m;
(2)证明:“”是“恒成立”的充要条件;
(3)若,求证:存在,使得.
(1)若依次成公差不为0的等差数列,求m;
(2)证明:“”是“恒成立”的充要条件;
(3)若,求证:存在,使得.
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7 . 已知函数,函数是函数的反函数.
求函数的解析式,并写出定义域;
设,判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为),且.
求函数的解析式,并写出定义域;
设,判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为),且.
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8 . 已知定义在上的函数满足以下三个条件:
①对任意实数,都有;
②;
③在区间上为增函数.
(1)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)求证:;
(3)解不等式.
①对任意实数,都有;
②;
③在区间上为增函数.
(1)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)求证:;
(3)解不等式.
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2019-12-01更新
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916次组卷
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3卷引用:上海市复旦大学附属中学2022届高三上学期9月月考数学试题
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9 . 我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线,事实上,多项式函数的图像都是如此.
(1)设,且,若还有,求证:;
(2)设一个多项式函数有奇次项(),求证:总能通过只调整的系数,使得调整后的多项式一定有零点;
(3)现有未知数为的多项式方程(其中实数待定),甲、乙两人进行一个游戏:由甲开始交替确定中的一个数(每次只能去确定剩余还未定的数),当甲确定最后一个数后,若方程由实数解,则乙胜,反之甲胜,问:乙有必胜的策略吗?若有,请给出策略并证明,若无,请说明理由.
(1)设,且,若还有,求证:;
(2)设一个多项式函数有奇次项(),求证:总能通过只调整的系数,使得调整后的多项式一定有零点;
(3)现有未知数为的多项式方程(其中实数待定),甲、乙两人进行一个游戏:由甲开始交替确定中的一个数(每次只能去确定剩余还未定的数),当甲确定最后一个数后,若方程由实数解,则乙胜,反之甲胜,问:乙有必胜的策略吗?若有,请给出策略并证明,若无,请说明理由.
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10 . 已知数列,,,设,其中表示不大于的最大整数.设,数列的前项和为.求证:
(1)判断与的大小,并说明理由;
(2)证明:;
(3)证明:当时,.
(1)判断与的大小,并说明理由;
(2)证明:;
(3)证明:当时,.
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