1 . 已知
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数
，若直线
和曲线共有三个不同交点
，其中
，求证：
成等比数列．
．(1)求函数
的单调区间和极值；(2)请严格证明曲线
有唯一交点；(3)对于常数
，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．
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2 . 
个有次序的实数
，
，
，
所组成的有序数组
，，，
称为一个维向量，其中
，2，，
称为该向量的第
个分量．特别地，对一个维向量
，若
，
，
，称
为维信号向量．设，
，则和
的内积定义为
，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知
个两两垂直的2024维信号向量
，
，，
满足它们的前
个分量都是相同的，求证：
．
个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知
个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
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3 . 如果函数
满足：对于任意
，均有
（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．
(1)分别判断函数
，
，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；
(2)设函数
在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数
具有“m级”性质；
(3)若函数
在区间
以及区间
（
）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间
上具有“1级”性质．
满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．(1)分别判断函数
，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；(2)设函数
在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质；(3)若函数
在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质．
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4 . 对于函数
，分别在
处作函数的切线，记切线与
轴的交点分别为
，记
为数列
的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与
轴的交点分别为
，记
为数列
的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数
，记
“切线-轴数列”为
，记
为的前n项和，求.
(2)设函数
，记
“切线-轴数列”为
，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数
均为不为0的实数，记
为
的共轭复数，设
，记
“切线-轴数列”为
，求证：对于任意的不为0的实数
，总有
成立.
，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”(1)设函数
，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.(2)设函数
，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.(3)设复数
均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.
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2024-01-01更新
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394次组卷
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7卷引用：上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）模块一专题1【练】《导数的概念、运算及其几何意义》单元检测篇B提升卷（人教A2019版）（已下线）模块二 专题1 与曲线的切线相关问题（已下线）模块二 专题3 与曲线的切线相关问题（人教B版）（已下线）模块一 专题1 《导数的概念、运算及其几何意义》B提升卷（苏教版）（已下线）模块二 专题1 与曲线的切线相关问题（苏教版高二）（已下线）模块二 专题4 与曲线的切线相关问题（高二北师大版）
5 . 已知数列
的前n项和为，且满足
，
．
(1)判断
是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：
．
的前n项和为，且满足，．(1)判断
是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求
和；(3)求证：
．
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2024-01-11更新
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1542次组卷
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4卷引用：上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
上海市青浦高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）每日一题 第26题 由Sn求an 作差检验（高二）（已下线）模块六 大招4 数列不等式的放缩河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
6 . 若函数
满足：对任意的实数
，
，有
恒成立，则称函数为 “
增函数” ．
(1)求证：函数
不是“增函数”；
(2)若函数
是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设
，若曲线
在
处的切线方程为
，求
的值，并证明函数是“增函数”．
满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．(1)求证：函数
不是“增函数”；(2)若函数
是“增函数”，求实数的取值范围；(3)设
，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
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2023-12-21更新
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663次组卷
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4卷引用：上海市奉贤区2024届高三一模数学试题
上海市奉贤区2024届高三一模数学试题（已下线）上海市奉贤区2024届高三一模数学试题变式题16-21重庆市育才中学校2023-2024学年高二下学期三月拔尖强基联盟联合考试巩固测试数学试题四川省屏山县中学校2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题
名校
7 . 已知集合
为非空数集，定义
.
(1)若集合
，请证明
，并直接写出集合
；
(2)若
且
，集合
，求的最小值；
(3)若集合
，且
，求证：
.
为非空数集，定义.(1)若集合
，请证明，并直接写出集合；(2)若
且，集合，求的最小值；(3)若集合
，且，求证：.
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8 . 已知函数，
，若存在常数k（
），使得对定义域D内的任意
（
），都有
成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”
(1)判断函数①，②
是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(2)若函数
（
）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
(3)若是定义在闭区间
上的“2-利普希兹条件函数”，且
，求证：对任意的
都有
．
，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”(1)判断函数①
，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数
（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若
是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．
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9 . 已知动圆
经过定点
，且与圆
：
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹
的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，
，点
为轨迹上异于，的动点，设
交直线
于点
，连接
交轨迹于点
，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心
的轨迹的方程；(2)设轨迹
与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：
为定值；②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
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2024-01-11更新
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574次组卷
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11卷引用：上海奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
22-23高二下·上海·期末
10 . 对于任意的
，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：
①
；②存在实数M，使得
成立．
(1)数列、
中，
，判断、是否具有“性质m”；
(2)设各项为正数的等比数列
的前n项和为，且
，
，数列
是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？
(3)若数列
的通项公式
．对于任意的
（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值
，求证：
．
，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：①
；②存在实数M，使得成立．(1)数列
、中，，判断、是否具有“性质m”；(2)设各项为正数的等比数列
的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？(3)若数列
的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：．
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