1 . 求证：不存在无穷多项的素数数列
，使得
.
，使得.
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2 . 在半径为1的圆内任给14个点，求证：其中必有两点的距离小于0.72.
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3 . 设
，
.
（1）求证：
；
（2）求和：
.
其中，
表示不超过实数
的最大整数.
，.（1）求证：
；（2）求和：
.其中，
表示不超过实数的最大整数.
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4 . 对于自然数
和
，求证
是一个自然数的完全平方．
和，求证是一个自然数的完全平方．
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5 . 设
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于
.求证：对每一个正整数，区间
中至少含有一个完全平方数.
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于.求证：对每一个正整数，区间中至少含有一个完全平方数.
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6 . 设
是锐角三角形，在外分别作等腰
，
，
.在这三个三角形中，
，
，
是直角.又在四边形
外作等腰
，
是直角.求证：
（1）
；
（2）
.
是锐角三角形，在外分别作等腰，，.在这三个三角形中，，，是直角.又在四边形外作等腰，是直角.求证：（1）
；（2）
.
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7 . 已知个正整数
满足
，其中任意两个
，
的最小公倍数都大于
.求证：
.（
表示
的整数部分）
个正整数满足，其中任意两个，的最小公倍数都大于.求证：.（表示的整数部分）
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8 . (1)设
，求证：
，并说明等号成立的条件；
(2)若实数
使得对于任意实数
，不等式
都成立，求的最大值.
，求证：，并说明等号成立的条件；(2)若实数
使得对于任意实数，不等式都成立，求的最大值.
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9 . 在各位数码各不相同的10位数中，是11111的倍数的有多少个？证明你的结论.
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10 . 给定整数
，记
为集合
的满足如下两个条件的子集
的元素个数的最小值：ⅰ.
，
；ⅱ.子集中的元素（除1外）均为中的另两个（可以相同）元素的和.
（1）求
的值；
（2）证明：
.
，记为集合的满足如下两个条件的子集的元素个数的最小值：ⅰ.，；ⅱ.子集中的元素（除1外）均为中的另两个（可以相同）元素的和.（1）求
的值；（2）证明：
.
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2018-12-14更新
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215次组卷
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3卷引用：2012年新知杯上海市高中数学竞赛试题
