1 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合
和
，定义和集
，用符号
表示和集
内的元素个数.
(1)已知集合
，
，
，若
，求
的值；
(2)记集合
，
，
，
为
中所有元素之和，
，求证：
；
(3)若与都是由
个整数构成的集合，且
，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.(1)已知集合
，，，若，求的值；(2)记集合
，，，为中所有元素之和，，求证：；(3)若
与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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名校
2 . 已知函数
．
(1)判断并证明
的零点个数
(2)记在
上的零点为
，求证;
（i）
是一个递减数列
（ii）
．
．(1)判断并证明
的零点个数(2)记
在上的零点为，求证;（i）
是一个递减数列（ii）
．
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2024-06-04更新
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527次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学试卷（一）
名校
解题方法
3 . 已知数列
为数列
的前n项和，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：
；
(3)证明：
．
为数列的前n项和，且．(1)求数列
的通项公式；(2)求证：
；(3)证明：
．
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2022-09-23更新
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2359次组卷
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9卷引用：湖南省常德市桃源县第一中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题
名校
4 . 已知函数
，设
．
（1）判断函数
零点的个数，并给出证明；
（2）首项为
的数列
满足：①
；②
．其中
．求证：对于任意的
，均有
．
，设．（1）判断函数
零点的个数，并给出证明；（2）首项为
的数列满足：①；②．其中．求证：对于任意的，均有．
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2017-06-06更新
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1731次组卷
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3卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）数学（理）试题
名校
解题方法
5 . 已知双曲线
的右顶点
，它的一条渐近线的倾斜角为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作直线
交双曲线于
，
两点（不与点
重合），求证：
；
(3)若过双曲线上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若
，
，求
面积的取值范围.
的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线
的方程；(2)过点
作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：；(3)若过双曲线
上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
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解题方法
6 . 已知双曲线
的离心率为
，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，
，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线
和
分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
的离心率为，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线和分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
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名校
解题方法
7 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于
，
，都存在
，使得
，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，
，2，3，…；
②
，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且
，求证：集合
为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①
，，2，3，…；②
，，2，3，…．(2)若数列
满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列
满足性质P，求数列的通项公式．
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2024-02-10更新
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1489次组卷
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6卷引用：湖南省2024届高三数学新改革提高训练一（九省联考题型）
湖南省2024届高三数学新改革提高训练一（九省联考题型）湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题北京市清华大学附属中学2023届高三下学期4月月考数学试题（已下线）北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题2024届高三新改革数学模拟预测训练一（九省联考题型）（已下线）压轴题05数列压轴题15题型汇总-1
8 . 若函数
及其导函数
均在区间D上有定义，且对于
，都有
恒成立，则称函数在区间D上为k级单增函数.
(1)证明：
在区间
内为5级单增函数；
(2)若
在区间上为3级单增函数，求实数a的取值范围．
及其导函数均在区间D上有定义，且对于，都有恒成立，则称函数在区间D上为k级单增函数.(1)证明：
在区间内为5级单增函数；(2)若
在区间上为3级单增函数，求实数a的取值范围．
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9 . 已知函数
存在两个极值点，且极大值点为
．
(1)求a的取值范围；
(2)若函数
最大的零点为
，求证：
．
存在两个极值点，且极大值点为．(1)求a的取值范围；
(2)若函数
最大的零点为，求证：．
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名校
10 . 已知函数
在
处的切线方程为
，且对任意
，都有
恒成立.
(1)求函数在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积；
(2)求证：
；
(3)若
，求正整数的最小值.
在处的切线方程为，且对任意，都有恒成立.(1)求函数在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积；(2)求证：
；(3)若
，求正整数的最小值.
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2024-01-13更新
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364次组卷
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2卷引用：湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第六次月考数学试题
