2 . 设数列单调递增且各项均为正整数，数列满足，记数列的前项和为，数列的前n项和为．若存在正整数，使得，则称为数列的信息熵．
(1)已知存在正整数，满足，，2，…，，，
①求（用含的表达式表示）；
②证明：数列的信息熵小于2；
(2)请写出，，，四个表达式的大小关系，并说明理由．

3 . 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
（i）求证：；
（ii）求证：.

5 . 我们定义的函数使得在上，证明：，当且仅当.
过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．

6 . 若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是______．

8 . 某研究团队需要研究成分S的性质，以研制一种新药.现有瓶待测试剂，这些试剂中的部分含有少量成分S，为了更方便的检测出含有成分S的待测试剂，该团队设计了以下两个方案：
方案一：对这n瓶待测试剂进行逐一检测；
方案二：将这n瓶待测试剂分成k个小组（，），每个小组分别将该组的待测试剂混合后检测一次，若未检测出成分S，则不再进行检测，若检测出成分S，则对该小组的待测试剂进行逐一检测.
已知每瓶待测试剂中含有成分S的概率均为p，设X为方案二某小组的检测次数，为方案二的检测次数的数学期望.
(1)记的最大值为E，求证：；
(2)能否认为恒成立?说明理由，并以此说明方案二的合理性；
(3)给出一个能有效减少检测次数的方案，说明理由.

9 . 当，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差（等比）数列，则称为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为，且的等差数列的首项，公差.
(1)写出数列的所有3阶等差子数列；
(2)数列中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为，求证：.