1 . 已知函数;
(1)讨论的单调性;
(2)已知时,不等式恒成立;若函数的图像与轴交于,两点,线段中点的横坐标为,求证:.

2 . 如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别是、，上顶点为A，左顶点为B，且.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设点是椭圆C上任意一点，且，在直线上是否存在点Q，使以为直径的圆经过坐标原点O，若存在，求出线段的长的最小值，若不存在，请说明理由．

3 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，过坐标原点的直线交于两点，，面积的最大值为
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上与不重合的一点，证明：直线的斜率之积为定值；
（3）当点在第一象限时，轴，垂足为，连接并延长交于点，求的面积的最大值.

4 . 已知函数
（1）证明：有唯一的零点；
（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．

6 . 已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______

7 . 已知函数．
（1）若存在最大值，证明：；
（2）函数，且只有一个极值点，求的取值范围，并证明：

8 . 定义凡尔赛函数已知，．
（1）求关于a的表达式，并求的最小值．
（2）当时，函数在上有唯一零点，求a的取值范围．
（3）已知存在a，使得对任意的恒成立，求b的取值范围．

9 . 已知单位向量、夹角为60°，向量，，函数，函数.
(1)求出并解方程；
(2)设，，证明，求出；
(3)设数列中，，，，求的取值范围，使对任意成立.

10 . 设两实数不相等且均不为.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知函数.
（1）求函数在内的“倒域区间”；
（2）若函数在定义域内所有“倒域区间”的图象作为函数的图象，是否存在实数，使得与恰好有2个公共点?若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.