1 . 已知函数
(1)证明：
(2)若，求实数a的取值范围.

2 . 已知为圆上一动点，过点作轴的垂线段为垂足，若点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知圆：与圆：，点A，B圆上，且，线段AB的中点为D，则直线OD（O为坐标原点）被圆截得的弦长的取值范围是______.

4 . 已知椭圆E： 的一个焦点F在直线上，过点F与x轴垂直的直线与椭圆E相交于P，H两点，.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l交椭圆E于C，D两点，试探究是否存在定点Q，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知函数，是的导函数．
(1)若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）

6 . 已知函数，其中
(1)若，求的极值；
(2)若，求实数a的取值范围.

7 . 已知集合，集合，函数，且对于一切的，都有，则满足条件的函数f的个数为____________．

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若有两个极值点，证明：．

9 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在唯一极小值点，证明：.

10 . 已知函数.
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，，求的取值范围.