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1 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是:“当三角形的三个角均小于时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为,且
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
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2 . 已知的外接圆半径为1,则的最小值是__________ .
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3 . 现有枚硬币. 对于每个,硬币是有偏向的,即向上抛出后,它落下时正面朝上的概率为.
(1)将这2枚硬币抛起,设落下时正面朝上的硬币个数为,求的分布列及数学期望;
(2)将这枚硬币抛起,求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率.
(1)将这2枚硬币抛起,设落下时正面朝上的硬币个数为,求的分布列及数学期望;
(2)将这枚硬币抛起,求落下时正面朝上的硬币个数为奇数的概率.
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4 . 已知的内角,,所对的边分别为,,,向量与垂直.
(1)求;
(2)若,求的周长的取值范围.
(1)求;
(2)若,求的周长的取值范围.
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昨日更新
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328次组卷
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2卷引用:山西省长治市上党区第一中学等校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题
5 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图,每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子,下方有从左至右依次编号为的格子(此时钉子层数为).当小球从板口下落时,它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下,继续碰至下一层钓子,依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.(1)直接写出时的分布列;
(2)证明:;
(3)改变格子个数(钉子层数相应改变),进行次实验,第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球,记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性,设每次实验、每次投球相互独立,求关于的表达式.
(2)证明:;
(3)改变格子个数(钉子层数相应改变),进行次实验,第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球,记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性,设每次实验、每次投球相互独立,求关于的表达式.
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6 . 阅读知识卡片,结合所学知识完成以下问题:
知识卡片1:
一般地,如果两数在区间上的图象连续不断,用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点(,2,…,n),作和式(其中为小区间长度),当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即.这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,x叫做积分变量,叫做被积式.从几何上看,如果在区间上函数的图象连续不断且恒有,那么定积分表示由直线,,和曲线所围成的区域(称为曲边梯形)的面积.
知识卡片2:
一般地,如果在区间上的图象连续不断,并且,那么.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如,如图所示,对于函数(),从几何上看,定积分的值为由直线,,和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积,根据微积分基本定理可得.(1)求下列定积分:
① ;
② ;
③ ;
④ .
(2)已知,计算:
①;
②
(3)当,时,有如下表达式:.计算:
知识卡片1:
一般地,如果两数在区间上的图象连续不断,用分点将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点(,2,…,n),作和式(其中为小区间长度),当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即.这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,x叫做积分变量,叫做被积式.从几何上看,如果在区间上函数的图象连续不断且恒有,那么定积分表示由直线,,和曲线所围成的区域(称为曲边梯形)的面积.
知识卡片2:
一般地,如果在区间上的图象连续不断,并且,那么.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如,如图所示,对于函数(),从几何上看,定积分的值为由直线,,和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积,根据微积分基本定理可得.(1)求下列定积分:
① ;
② ;
③ ;
④ .
(2)已知,计算:
①;
②
(3)当,时,有如下表达式:.计算:
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7 . 已知椭圆C:()的离心率为,且过点.直线与椭圆C相切于点P(P在第一象限),直线与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线OP的斜率为,求证:为定值;
(3)求△PAB面积的最大值.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线OP的斜率为,求证:为定值;
(3)求△PAB面积的最大值.
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8 . 在中,角、、所对的边分别为、、,且,则下列说法正确的是( )
A.若,则周长的最大值为 |
B.若,且只有一解,则的取值范围为 |
C.若为锐角三角形,且,则的取值范围为 |
D.若的外心为,则 |
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9 . 在中,三个内角成等差数列,则( )
A. | B. | C. | D.1 |
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10 . 已知,则( )
A. | B. |
C.二项式系数和为256 | D. |
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