1 . 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________．

2 . 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

3 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定.如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为___________.

4 . 祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，b为，a为的椭球体的体积是__________．

6 . 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；

7 . 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是_______________.

8 . 求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.使用反证法证明时，假设应为“假设三角形的__________”．

9 . 请阅读下列材料：若两个正实数满足，那么．证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以．根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为_______.（不必证明）