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解题方法
1 . 给出以下三个材料：
①若函数
的导数为
，的导数叫做的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即
，
；
②若
，定义
；③若函数在包含
的某个开区间
上具有n阶的导数，那么对于
有
，我们将
称为函数在点
处的n阶泰勒展开式.例如，
在点
处的n阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若
，
在点处的3阶泰勒展开式分别为
，
，求出，；
(2)比较（1）中
与的大小；
(3)证明：
.
①若函数
的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；②若
，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)若
，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；(2)比较（1）中
与的大小；(3)证明：
.
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2 . 已知
.
(1)求
并写出的表达式；
(2)证明：
.
.(1)求
并写出的表达式；(2)证明：
.
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3 . 如图，四棱台
的底面为菱形，
，点
为
中点，
．
平面
；
(2)若
，求平面
与平面夹角的余弦值．
的底面为菱形，，点为中点，．
平面；(2)若
，求平面与平面夹角的余弦值．
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1336次组卷
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5卷引用：第三套 艺体生新高考全真模拟 （三模重组卷）
（已下线）第三套 艺体生新高考全真模拟 （三模重组卷）（已下线）山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试（三模）数学试题湖北省武汉市汉铁高级中学2024届高考数学考前临门一脚试卷山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题
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4 . 在正四面体
中，
平面
，D为AB中点，在CD上.
与平面所成角的正弦值；
(2)求证：
.
中，平面，D为AB中点，在CD上.
与平面所成角的正弦值；(2)求证：
.
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解题方法
5 . 在
中，
对应的边分别为
.
(1)求
；
(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：
；
②已知三维分式型柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.若
是内一点，过
作
的垂线，垂足分别为
，求
的最小值.
中，对应的边分别为.(1)求
；(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：
；②已知三维分式型柯西不等式：
，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
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解题方法
6 . 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件
时，则称点为的布洛卡点，角
为布洛卡角．如图，在中，角，
，
所对边长分别为
，
，
，记的面积为
，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
．求证：
①
；
②为等边三角形．
(2)若
求证：
．
内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
．求证：①
；②
为等边三角形．(2)若
求证：．
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7 . 已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求的取值范围；
②当
时，证明：
.
.(1)若过点
可作曲线两条切线，求的取值范围；(2)若
有两个不同极值点.①求
的取值范围；②当
时，证明：.
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8 . 已知圆
和点
，点是圆上任意一点，线段
的垂直平分线与线段
相交于点
，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点
在直线
上运动，过点的动直线
与曲线相交于点
.
（ⅰ）若线段
上一点，满足
，求证：当的坐标为
时，点在定直线上；
（ⅱ）过点
作
轴的垂线，垂足为
，设直线
的斜率分别为
，当直线过点
时，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)点
在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点.（ⅰ）若线段
上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；（ⅱ）过点
作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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810次组卷
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5卷引用：情境12 结论未知的证明命题
（已下线）情境12 结论未知的证明命题（已下线）情境10 存在性探索命题2024届山东省聊城市高三三模数学试题2024届福建省厦门第一中学高考模拟（最后一卷）数学试题江苏省无锡市辅仁高级中学2024届高三下学期高考前适应性练习数学试题
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9 . 定义1:对于一个数集，定义一种运算
，对任意
都有
，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集
对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集，若存在一个元素
，使得任意
，满足
，则称为集合中的零元，若存在一个元素
，使得任意，满足
，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集
中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合
，证明:集合关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合
，证明:集合是一个数域.
，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）.定义2:对于一个数集
，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.定义3:对于一个数集
，如果满足下列关系:①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集
是一个数域. (1)指出常用数集
中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；(2)已知集合
，证明:集合关于乘法运算是封闭的；(3)已知集合
，证明:集合是一个数域.
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10 . 如图，四边形ABCD为菱形，
，把沿着BC折起，使A到
位置.
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求点D到平面的距离.
，把沿着BC折起，使A到位置.
；(2)若
，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求点D到平面
的距离.
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863次组卷
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3卷引用：专题11 关键能力与方法问题（解答题16）
