1 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

2 . 已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，，求证：．

3 . 已知点P在椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，当P是椭圆C的上顶点，A，B是椭圆D的左右顶点时，的面积为．
(1)求椭圆D的方程；
(2)直线PA，PB分别交椭圆D于另一点M，N，若，求m的值．

4 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．

5 . 已知.
(1)证明：；
(2)若，求的最大值.

6 . 已知函数.
(1)证明不等式：，；
(2)若，，使得，求证：.

7 . 已知函数.
(1)设的零点为，求曲线在点处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.

8 . 设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数．
(1)求a的取值范围；
(2)设函数，证明：当时，，当时，．
(3)证明：．

9 . 已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)若的最小值为，求的值；
(2)证明：当时，有两个不同的零点，，且．