1 . 已知函数．
（1）当时，求曲线与曲线的公切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，求证：关于的方程有唯一解．

2 . 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.

3 . 已知函数，，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，任意，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.

4 . 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）当时，求证：.

5 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点.为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.

6 . 已知函数.
求的最小值.
若.求证：存在唯一的极大值点，且

7 . 已知a是实数，函数．
（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上的单调性．

8 . 已知函数,且的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.
（1）求的表达式和的单调增区间；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.

9 . 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点且（其中为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程;
（2）若、 分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在,说明理由.

10 . 已知正项数列满足，且，设
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）设为数列的前项和，求证：.