1 . 已知函数，满足．
(1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）；
(2)求在区间上的零点个数；
(3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

2 . 在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求证：
(2)求的取值范围.

3 . 在中，角的对边分别为．
(1)求证：；
(2)若是上一点，平分，求．

4 . 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且       ．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 已知函数，且、.
(1)求、的值及的最小值；
(2)若，且、是方程的两个根，求证：.

6 . 如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.
   
(1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.
(2)若与共线，求面积的最大值.

7 . 某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：.

8 . 记的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．
(1)当为锐角三角形时，证明：；
(2)求的取值范围．

9 . 在平面四边形中，已知，.
(1)证明：；
(2)若，，，求四边形的面积.

10 . 已知，对任意，都有，.
(1)求的值；
(2)证明；
(3)若的最大值为8，求的解析式.