1 . 各项不为0的数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

2 . 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

3 . 已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．

4 . 记正项数列的前项积为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.

5 . 已知数列的首项，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求使不等式成立的最小正整数n.

6 . 数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

7 . 设等比数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.

10 . 已知无穷正整数数列满足．
(1)若，求；
(2)求的取值的集合．