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解题方法
1 . 已知函数f(x)
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．
（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
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2021-09-12更新
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883次组卷
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9卷引用：福建省泉州市泉港区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
福建省泉州市泉港区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期初学业质量监测数学试题宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期期中理科数学试题四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考四数学（理）试题（已下线）专题36 盘点导数与函数零点的交汇问题—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破重庆市南开中学校2023届高三上学期期末数学试题江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题重庆市荣昌中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题
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解题方法
2 . 已知函数
，
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴．
（Ⅰ）求
的值
（Ⅱ）设
，若
的所有零点中，仅有两个大于
，设为
，
（
）
（1）求证：
，
．
（2）过点
，
的直线的斜率为
，证明：
．
，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）求
的值（Ⅱ）设
，若的所有零点中，仅有两个大于，设为，（）（1）求证：
，．（2）过点
，的直线的斜率为，证明：．
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解题方法
3 . 已知函数
.
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)令
，判断
在
上极值点的个数，并加以证明；
(3)令
，定义数列
. 当且
时，求证:对于任意的
，恒有
.
.(1)若
，求在点处的切线方程；(2)令
，判断在上极值点的个数，并加以证明；(3)令
，定义数列. 当且时，求证:对于任意的，恒有.
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4 . 设函数
为自然对数的底数.
（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程
,并证明 
恒成立
（Ⅱ）当
时，设
是函数
图像上三个不同的点，求证：
是钝角三角形.
为自然对数的底数.（Ⅰ）当
时，求函数在点处的切线方程,并证明 恒成立（Ⅱ）当
时，设是函数图像上三个不同的点，求证：是钝角三角形.
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解题方法
5 . 已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
，．(1)当
时，求曲线在处的切线方程；(2)求
的单调区间；(3)设
是函数的两个极值点，证明：．
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2024-01-25更新
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1627次组卷
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5卷引用：福建省莆田市莆田第一中学2024届高三上学期第一次调研数学试题
福建省莆田市莆田第一中学2024届高三上学期第一次调研数学试题天津市宁河区2024届高三上学期期末数学试题（已下线）重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移（8题型+满分技巧+限时检测）（已下线）2023-2024学年高二下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（2）（已下线）模块2专题7 对数均值不等式 巧妙解决双变量练
6 . 已知函数
，
．
(1)若
满足
，证明：曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线；
(2)若
，且
，证明：
．
，．(1)若
满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；(2)若
，且，证明：．
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解题方法
7 . 记集合
，集合
，若
，则称直线
为函数
在
上的“最佳上界线”；若
，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．
(1)已知函数
，
．若
，求的值；
(2)已知
．
（ⅰ）证明：直线是曲线
的一条切线的充要条件是直线是函数
在
上的“最佳下界线”；
（ⅱ）若
，直接写出集合
中元素的个数（无需证明）．
，集合，若，则称直线为函数在上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．(1)已知函数
，．若，求的值；(2)已知
．（ⅰ）证明：直线
是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”；（ⅱ）若
，直接写出集合中元素的个数（无需证明）．
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解题方法
8 . 设函数
(1)若函数与
的图象存在公切线，求的取值范围；
(2)若方程
有两个不同的实根
，求证：
．
(1)若函数
与的图象存在公切线，求的取值范围；(2)若方程
有两个不同的实根，求证：．
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9 . 已知函数
，在点
处切线方程为
．
(1)求实数的值；
(2)讨论的单调性；
(3)设为两个不相等的正数，且
，证明：
．
，在点处切线方程为．(1)求实数
的值；(2)讨论
的单调性；(3)设
为两个不相等的正数，且，证明：．
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解题方法
10 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
，的导函数分别为，，且，则.②设
，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间上的2阶无穷递降函数；(2)计算：
；(3)证明：
，.
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2024-03-21更新
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1153次组卷
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4卷引用：福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题
福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题四川省阆中中学校2023-2024学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题（已下线）浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题变式题16-19
