1 . 定义:若函数与的图象在上有且仅有一个交点,则称函数与在上单交,此交点被称为“单交点”.已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
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23-24高二下·广东·期中
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2 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一,它与导数和函数的零点有关,其表达如下:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得,我们将称为函数在上的“中值点”.已知函数,,.
(1)求在上的中值点的个数;
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数,,都有成立,求实数t的取值范围.
(3)当且时,证明:.
(1)求在上的中值点的个数;
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数,,都有成立,求实数t的取值范围.
(3)当且时,证明:.
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3 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时,.注:阶导数指对一个函数进行次求导,表示的2阶导数,即为的导数,表示的阶导数,为自然对数的底数,,该公式也称麦克劳林公式.设,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题:
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
(1)利用泰勒公式求的近似值;(精确到小数点后两位)
(2)设,证明:;
(3)证明:(为奇数).
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4 . 给出以下三个材料:
①若函数的导数为,的导数叫做的二阶导数,记作.类似地,二阶导数的导数叫做的三阶导数,记作,三阶导数的导数叫做的四阶导数…,一般地,n-1阶导数的导数叫做的n阶导数,即,;
②若,定义;③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数,那么对于有,我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如,在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料,完成下面的题目:
(1)若,在点处的3阶泰勒展开式分别为,,求出,;
(2)比较(1)中与的大小;
(3)证明:.
①若函数的导数为,的导数叫做的二阶导数,记作.类似地,二阶导数的导数叫做的三阶导数,记作,三阶导数的导数叫做的四阶导数…,一般地,n-1阶导数的导数叫做的n阶导数,即,;
②若,定义;③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数,那么对于有,我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如,在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料,完成下面的题目:
(1)若,在点处的3阶泰勒展开式分别为,,求出,;
(2)比较(1)中与的大小;
(3)证明:.
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23-24高二下·安徽合肥·期中
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5 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处n()阶导数都存在时,.注:表示的2阶导数,即为的导数,()表示的n阶导数,该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出泰勒展开式(只需写出前4项);
(2)根据泰勒公式估算的值,精确到小数点后两位;
(3)证明:当时,.
(1)写出泰勒展开式(只需写出前4项);
(2)根据泰勒公式估算的值,精确到小数点后两位;
(3)证明:当时,.
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6 . 已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
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7 . 已知函数.
(1)若在恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:.
(1)若在恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:.
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8 . 已知函数有两个极值点,且.
(1)求的取值范围;
(2)证明:.
(1)求的取值范围;
(2)证明:.
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9 . 定义:若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C:,在直角坐标系中作出曲线C的图象,并判断C是否存在“自公切线”?(给出结论即可,不必说明理由)(2)证明:当时,函数不存在“自公切线”;
(3)证明:当,时,.
(1)设曲线C:,在直角坐标系中作出曲线C的图象,并判断C是否存在“自公切线”?(给出结论即可,不必说明理由)(2)证明:当时,函数不存在“自公切线”;
(3)证明:当,时,.
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350次组卷
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2卷引用:辽宁省大连市二十四中学2023-2024学年下学期高三第五次模拟考试数学卷数学
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10 . 已知函数.
(1)求的值域;
(2)求证:当时,.
(1)求的值域;
(2)求证:当时,.
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