1 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

3 . 已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．

4 . 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．

5 . 已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.

6 . 已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

7 . 给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.

8 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

9 . 若.
(1)当，时，讨论函数的单调性；
(2)若，且有两个极值点，，证明：.

10 . 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．