1 . 设函数，已知，，在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点， 求的取值范围．
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

2 . 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．
(1)求的对称中心，
(2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值；
(3)设函数，证明：有且只有一个零点，且．

3 . 已知函数，为常数.
(1)证明：的图象关于直线对称.
(2)设在上有两个零点，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.

4 . 已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质.
(1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围；
(3)已知函数，的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数，具有性质.

5 . 已知函数的图象关于直线对称.
(1)求证：函数为奇函数.
(2)将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间.

6 . 如果实数，且满足，则称x、y为“余弦相关”的.
(1)若，请求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若两数、为“余弦相关”的，求证：；
(3)若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.

7 . 已知函数.
(1)求的单调减区间；
(2)求证：的图象关于直线对称.

8 . 已知函数.把方程的正数解从小到大依次排成一列，得到数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证．

9 . 已知定义在的函数，对任意，恒有成立.

（1）求证：函数是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，求出的解析式，写出它的对称轴的方程.

10 . 已知函数.数列.
(1)请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；
(2)是否是轴对称函数，如果是，求出对称轴；若不是，说明理由；
(3)求证：.