1 . 已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

2 . 已知数列的前项和为，且，（）.
（1）计算，，，，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：，，，，，设为数列的前项和，试求的值.

3 . 设数列的前n项和为,对一切,点都在函数的图像上.
（1）证明：当时,;
（2）求数列的通项公式;
（3）设为数列的前n项的积,若不等式对一切成立,求实数a的取值范围.

4 . 数列的数列的首项，前n项和为，若数列满足：对任意正整数n，k，当时，总成立，则称数列是“数列”
（1）若是公比为2的等比数列，试判断是否为“”数列？
（2）若是公差为d的等差数列，且是“数列”，求实数d的值；
（3）若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列.

5 . 已知数列中，，，且其前n项和满足（其中），令；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证： ，；
（3），求同时满足下列条件的所有a的值；
①对任意的正整数n，都有；
②对任意的，均存在，使得当时，．

6 . 已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．

7 . 已知位数满足下列条件：①各个数字只能从集合中选取；②若其中有数字4,则在4的前面不含2.将这样的n位数的个数记为
（1）求；
（2）探究与之间的关系,求出数列的通项公式；
（3）对于每个正整数,在与之间插入个得到一个新数列,设是数列的前项和,试探究能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明.

8 . 已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.
（1）求和的值；
（2）计算行列式和；
（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除.

9 . 已知数列满足，首项为
（1）若，求的取值范围；
（2）记，当时，求证：数列是等比数列；
（3）若恒成立，求的取值范围.

10 . 已知数列满足：，，.
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和.