1 . 已知数列中各项均为正数,且,给出下列四个结论:
①对任意的,都有
②数列可能为常数列
③若,则当时,
④若,则数列为递减数列.
其中正确结论有( )
①对任意的,都有
②数列可能为常数列
③若,则当时,
④若,则数列为递减数列.
其中正确结论有( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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2 . 若正实数数列满足,则称是一个对数凸数列;若实数列满足,则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列,.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
(1)证明:;
(2)若,证明:;
(3)若,,求的最大值.
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3 . 对于数列,定义为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则__________ .
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4 . 已知集合,其中且,,若对任意的,都有,则称集合A具有性质.
(1)集合具有性质,求m的最小值;
(2)已知A具有性质,求证:;
(3)已知A具有性质,求集合中元素个数的最大值,并说明理由.
(1)集合具有性质,求m的最小值;
(2)已知A具有性质,求证:;
(3)已知A具有性质,求集合中元素个数的最大值,并说明理由.
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5 . 记正项数列的前项和为,若,则的最小值为__________ .
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6 . 已知为正项数列的前项和,,,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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7 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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8 . 已知无穷数列是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合,若对于集合中的元素,数列中存在不相同的项,使得,则称数列具有性质,记集合数列具有性质.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
(1)若数列的通项公式为,判断数列是否具有性质,若具有,写出集合与集合;
(2)已知数列具有性质且集合中的最小元素为.集合小的最小元素为,当时,证明:.
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9 . 数列称为斐波那契数列,该数列是由意大利数学家莱昂纳多・斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,满足,则数55是该数列的第__________ 项;是斐波那契数列的第__________ 项.
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10 . “序列”在通信技术中有着重要应用,该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”,表示把中每个都变为,每个0都变为,每个1都变为0,1,得到新的有序实数组.例如:,则.定义,,若中1的个数记为,则的前10项和为______ .
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