1 . 已知的数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
(1)求，．
(2)证明：当时，．
(3)是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．

2 . 卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（       ）

A．25.7m

B．30.6m

C．35.3m

D．40.4m

3 . 一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：．，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（       ）

A．4752

B．4753

C．4850

D．4851

4 . 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
(1)求的通项公式；
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．

5 . 已知双曲线，在双曲线的右支上存在不同于点的两点，，记直线的斜率分别为，且，，成等差数列．
(1)求的取值范围；
(2)若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

6 . 已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（       ）

A．存在公差为1的等差数列，使得

B．存在公比为2的等比数列，使得

C．若，则

D．若，则

7 . 向量，，，对应的点在曲线上，则（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．

9 . 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则的最大值为100

C．若，则

D．若，则

10 . 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（       ）

A．当时，数列单调递减	B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减	D．当时，数列单调递增