1 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

2 . 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
(1)若具有性质“”，且，，，求；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
(3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.

3 . 已知数列，满足，，记.

(1)试证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．

5 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若，求证：存在，使得，有．

7 . 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

8 . 设和是两个等差数列，记 ，其中表示这个数中最小的数.
(1)若，，求的值；
(2)若，，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列.

9 . 已知数列的首项为1，对任意的，定义.
(1)若，求；
(2)若，且.
（i）当时，求数列的前项的和；
（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

10 . 设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最小的数．
(1)若，求的值；
(2)若，证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意实数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．