1 . 已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．

5 . 将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．
(1)分别写出数列的前2项；
(2)记数列的第项为．求证：当时，；
(3)若，求的值．

6 . 设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质.
(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：；
②求的值.

7 . 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列．
(1)若集合，写出一组符合题意的数列和；
(2)若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；
(3)若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”．

8 . 数列项数为，我们称为的“映射焦点”，如果满足：①；
②对于任意，存在，满足，并将最小的记作；
(1)若，判断时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
(2)若时，是映射焦点，证明：的最大值为4；
(3)若，，求的最小值.

10 . 对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列．
(1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；
(2)已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列；
(3)若数列P：，，，是不等和数列，求证：．