1 . 若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列.
(1)若为调和数列，证明数列是等差数列；
(2)调和数列中，，，前项和为，求证：.

2 . 已知等差数列与等比数列满足 ， ， ，且既是和的等差中项，又是其等比中项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求证：.

3 . 给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列".
(1)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列是“指数型数列”，且，证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.

4 . 设数列的前项和为，当时，有．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，求的最大值．

5 . 已知首项为1的等差数列的前项和为，若成等比数列．
(1)求和：
(2)求证：

6 . 已知双曲线C；经过点，右焦点为，且成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l:上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明:是定值.

8 . 记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.

9 . 已知数列中，，且满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式
（2）求数列的前n项和．

10 . 在数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.