1 . 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数．
(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足．
①求证：是数列的母函数；
②求数列的前项和．
(2)已知是数列的母函数，且，若数列的前项和为，求证：

2 . 定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.
已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；
(3)若，数列是等比数列，求的数值．

3 . 对于数列，设表示数列前项，，，中的最大项．数列满足：．
(1)若，求的前项和．
(2)设数列为等差数列，证明：或者（为常数），，，，．
(3)设数列为等差数列，公差为，且．
记，
求证：数列是等差数列．

4 . 已知数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列．

5 . 已知数列满足上：，.
(1)若，证明：数列是等差数列；
(2)若，判断数列的单调性并说明理由；
(3)若，求证：.

6 . 在数列中，，，，其中．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，，数列的前项和为，若当且为偶数时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设数列的前项的和为，试求数列的最大值.

7 . 记等差数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；
（3）记，求证：.

8 . 若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
（1）若具有性质“”，且，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
（3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.

9 . 对于数列，定义，．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若，，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

10 . 如图，将数字1,2,3，…，（）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为，，…，，第二行填入的数字依次为，，…，．记．

（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数．试给出，，…，的一组取值，使得无论，，…，填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同.