名校
1 . 已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)设函数有两个极值点
，求证：
.
.(1)求函数
的极值；(2)设函数
有两个极值点，求证：.
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2024-03-03更新
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337次组卷
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4卷引用：安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题（已下线）第五章综合 第二练 数学思想训练（已下线）专题07 函数的极值和最值的应用8种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第二册）吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
名校
2 . 已知等比数列
的各项均为正数，且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求证：
.
的各项均为正数，且.(1)求数列
的通项公式；(2)设
，求证：.
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2024-01-10更新
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1578次组卷
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3卷引用：辽宁省沈阳市2023-2024学年高三上学期教学质量监测（一）数学试题
3 . 已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
，
时，函数
的图象与函数
的图象有两个交点
，
．
①求证：
；
②比较
与
的大小．
．(1)讨论
的单调性；(2)当
，时，函数的图象与函数的图象有两个交点，．①求证：
；②比较
与的大小．
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4 . 已知
与
都是定义在
上的函数，若对任意
，
，当
时，都有
，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断
是否为函数
的一个控制函数，并说明理由；
(2)设
的导数为
，
，求证：关于
的方程
在区间
上有实数解；
(3)设
，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．
与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．(1)判断
是否为函数的一个控制函数，并说明理由；(2)设
的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)设
，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．
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5 . “让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于的实数（全部同号），证明
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解题方法
6 . 如果函数满足以下两个条件，我们就称为
型函数．
①对任意的
，总有
；
② 当
时，总有
成立．
(1)记
，求证：
为型函数；
(2)设
，记
，若
是型函数，求
的取值范围；
(3)是否存在型函数
满足：对于任意的
，都存在
，使得等式
成立？请说明理由．
满足以下两个条件，我们就称为型函数．①对任意的
，总有；② 当
时，总有成立．(1)记
，求证：为型函数；(2)设
，记，若是型函数，求的取值范围；(3)是否存在
型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
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2024-01-10更新
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412次组卷
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2卷引用：上海市静安区2024届高三上学期期末教学质量调研数学试题
2023·全国·模拟预测
解题方法
7 . （1）设a，b为正实数，求证：
．
（2）设a，b，c为正实数，求证：
．
．（2）设a，b，c为正实数，求证：
．
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8 . 已知为等差数列，
为等比数列，
．
(1)求和的通项公式；
(2)设
，求数列的前
项和
.
(3)设
，求数列
的前项和
.
(4)记的前项和为
，求证：
；
为等差数列，为等比数列，．(1)求
和的通项公式；(2)设
，求数列的前项和.(3)设
，求数列的前项和.(4)记
的前项和为，求证：；
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解题方法
9 . （1）设，
用反证法证明：若
，则
或
．
（2）设
，比较
与
的值的大小．
，用反证法证明：若，则或．（2）设
，比较与的值的大小．
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2023-11-09更新
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68次组卷
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2卷引用：山东省泰安市泰山外国语学校2024届高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
10 . 已知数列成等比数列，是其前项的和，若
成等差数列.
(1)证明：
成等差数列；
(2)比较
与
的大小.
成等比数列，是其前项的和，若成等差数列.(1)证明：
成等差数列；(2)比较
与的大小.
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