1 . 在一个直径为的圆柱形水桶中放入一个铁球(桶壁厚度忽略不计),球全部没入水中后,水面升高,则此铁球的半径为________ .
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2 . 如图,在三棱柱中,底面,,,,为线段上的动点, ,分别为线段,中点,则下列命题中正确的是( )
A.三棱锥的外接球体积的最大值为 |
B.直线与所成角的余弦值的取值范围是 |
C.当为中点时,三棱锥的体积为 |
D.存在点,使得 |
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3 . 如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,且,则下列结论正确的是( )
A.该正方体的外接球体积为 |
B.底面半径为,高为的圆锥体能够被整体放入该正方体 |
C.三棱锥的体积为定值 |
D.当与重合时,异面直线与所成的角为 |
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2023-11-08更新
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458次组卷
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3卷引用:云南省大理下关一中教育集团2023-2024学年高二上学期期中考数学试题
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解题方法
4 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,如图所示,若正四面体ABCD的棱长为a.
① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
③ 勒洛四面体中过三点的截面面积为
④ 勒洛四面体的体积
上述命题中正确的是__________
① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
③ 勒洛四面体中过三点的截面面积为
④ 勒洛四面体的体积
上述命题中正确的是
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5 . 沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程,力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理;
(2)表述出祖暅原理的内容,并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体(需交代主要线段的长度,可适当用文字说明).
(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理;
(2)表述出祖暅原理的内容,并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体(需交代主要线段的长度,可适当用文字说明).
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6 . “圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现,被刻在他的墓碑上,当圆柱容球时,圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为,体积为;圆柱的表面积为,体积为,则( )
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
7 . 如图,已知平面截球所得截面圆的半径为,该球面的点到平面的最大距离为3,则球的体积为( )
A. | B. | C. | D. |
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8 . 已知球的表面积为,则它的体积为______ .
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解题方法
9 . 粽子,古时北方也称“角黍”,是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品,是中国汉族传统节庆食物之一,端午食粽的风俗,千百年来在中国盛行不衰,粽子形状多样,馅料种类繁多,南北方风味各有不同,某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体,蛋黄近似看成一个球体,且每个粽子里仅包裹一个蛋黄,若粽子的棱长为6 cm,则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______ .
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10 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为,母线长为.
(1)当,时,在圆柱内放一个半径为1的实心球,求圆柱内空余部分的体积;(结果用精确值表示)
(2)如图,当,时,平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°,且平面只与圆柱的侧面相交,设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线,半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点,,若点为曲线上任意一点,求证:为定值;
(3)在(1)的条件下,在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个,求的最大值.
(1)当,时,在圆柱内放一个半径为1的实心球,求圆柱内空余部分的体积;(结果用精确值表示)
(2)如图,当,时,平面与圆柱的底面所成锐二面角为45°,且平面只与圆柱的侧面相交,设平面与圆柱的侧面相交的轨迹为曲线,半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点,,若点为曲线上任意一点,求证:为定值;
(3)在(1)的条件下,在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个,求的最大值.
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2023-10-22更新
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501次组卷
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4卷引用:上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点1 立体几何中的定值问题综述及定长、定距问题【培优版】(已下线)第四章 立体几何解题通法 专题一 降维法 微点4 降维法综合训练【基础版】