1 . 如图，四边形是圆柱底面的内接矩形，是圆柱的母线.
       
(1)证明：在侧棱上存在点，使平面；
(2)在（1）的条件下，设二面角为，，，求三棱锥的体积.

2 . 如图，三棱柱中，为底面的重心，．

(1)求证：∥平面；
(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值．

3 . 如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．

(1)求证：平面；
(2)设，求直线与平面所成角的正弦值．

4 . 如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.

(1)求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.

5 . 如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.

6 . 如图，在直三棱柱中，，为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

7 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.

(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.

8 . 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.

(1)证明：平面，且；
(2)求三棱锥的体积.

9 . 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．

(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；
(2)证明：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．

10 . 在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点，

(1)证明：平面平面；
(2)若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值.