1 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．

(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)若，求二面角的正切值．

2 . 如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．

(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．

3 . 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.
   
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.

4 . 已知矩形满足，现将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的射影为点．

(1)若点恰好落在边上，
①求证：平面；
②当，时，求边长度的最小值；
(2)当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的平面角余弦值的取值范围．

5 . 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

6 . 在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，PA=PD，E，F分别为AD，PC的中点.

（1）求证：平面BEF；
（2）若PC与AB所成角为45°，求二面角F-BE-A的余弦值.

7 . 如图，四棱锥中，，平面平面.若，，，.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.

8 . 在三棱锥中，底面，，垂直平分且分别交、于、，又，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.

9 . 如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.

10 . 如图，在三棱柱中，侧面，已知，，．

（1）求证：平面；
（2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置，使得；
（3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的正切值．