1 . 如图，四棱锥的底面是矩形，，，M为的中点，，.

(1)证明：底面
(2)若，求二面角的正弦值．

2 . 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AB，BF上移动，且CM，BN的长度保持相等，记.
   
(1)求异面直线AC，BF所成角的余弦值；
(2)a为何值时，MN的长最小？
(3)当MN的长最小时，求AB与平面AMN夹角的余弦值.

3 . 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．

   

(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．

4 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．
   
(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；
(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

5 . 如图，四棱锥中， 平面，底面为直角梯形，且，，，.

(1)求证：；
(2)求与平面所成的角的正弦值；

6 . 如图，在四棱锥中，点 都在以为直径的圆上，平面 ，M为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若是正三角形，，求平面与平面夹角的余弦值．

7 . 如图，已知在四面体中，，，.、分别为、中点.
   
(1)证明：直线为、的公垂线；
(2)求空间内任一点到四面体四个顶点距离和的最小值.

8 . 如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，D为PC上一点，且，．

(1)求AC的长；
(2)若E为AC的中点，求二面角的余弦值．

9 . 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，

   

(1)求证：MN平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.

10 . 已知在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，D₁D＝3，点M是B₁C₁的中点，点N是AB的中点.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值.