1 . 已知椭圆：的焦距为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.

2 . 已知椭圆E：的离心率，并且经过定点（0,1）.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)问是否存在直线，使直线与椭圆交于 A，B 两点，满足，若存在，求 m 值，若不存在说明理由．

3 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围.

4 . 如图，分别是椭圆的左、右焦点，焦距为，动弦平行于轴，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过分别作直线交椭圆于和，且，求四边形面积的最大值.

5 . 已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点．
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)若AOB为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围；
(Ⅲ)求证直线MA、MB与轴围成的三角形总是等腰三角形．

6 . 已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．
1求椭圆C的标准方程；
2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴的交点除外），直线交椭圆于另一个点.

（1）当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积；
（2）①记直线的斜率分别为，求证：为定值；

②求的取值范围.

8 . 已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线，使其满足:①直线的斜率与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在直线上.若存在，求出直线和的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，是否存在这样的实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.